使用可觀測量測量量子態與特徵向量和特徵值有何關係？

當使用可觀測量測量量子態時，特徵向量和特徵值的概念起著重要作用。在量子力學中，可觀測量由厄米算符表示，這些算子是與可測量的物理量相對應的數學構造。這些運算子具有一組與其相關的特徵值和特徵向量。

可觀測量的特徵向量是一種量子態，當測量可觀測量時，將產生相應物理量的確定值。換句話說，測量特徵向量上的可觀測量總是會產生特定的特徵值。從數學上來說，這可以表示為等式：

Aψ |⟩ = a |ψ⟩

其中A是可觀測量，|ψ⟩是特徵向量，a是相應的特徵值，符號|…⟩代表量子態。

特徵值a代表可觀測A的測量的可能結果。每個特徵向量|ψ⟩對應於不同的特徵值a。可觀測量的所有可能特徵值的集合稱為可觀測量的譜。

為了使用可觀測量測量量子態，我們需要將系統準備為其可能的特徵向量的疊加。這可以通過對系統應用酉變換來實現。得到的狀態將是特徵向量的線性組合，其複係數被稱為概率幅度。

執行測量時，系統會塌陷為特徵向量之一，其概率由相應概率幅度的平方大小確定。測量結果將是與特徵向量相關的特徵值。

例如，考慮與一維中粒子的位置相對應的可觀測量。該可觀測量的特徵向量是位置特徵態，表示為 |x⟩，其中 x 是沿維度的特定位置。特徵值是粒子可能佔據的位置。

如果我們將粒子準備在位置本徵態的疊加中，例如(|x1⟩ + |x2⟩)/√2，並測量可觀測量的位置，我們將獲得x1 或x2 作為測量結果，每個結果的概率為1/2。

當使用可觀測量測量量子態時，特徵向量代表可能的測量結果，而特徵值對應於測量時可以獲得的值。獲得特定特徵值的概率由相應概率幅值的平方確定。