為什麼語言 U = 0^n1^n (n>=0) 是非正規語言？

by 蒂埃里·梅斯 / 星期六，14十二月2024 / 出版於網路安全, EITC/IS/CCTF 計算複雜性理論基礎, 下推自動機, PDA：下推式自動機

語言是否的問題 $U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ 是否規則是計算複雜性理論領域的一個基本主題，特別是在形式語言和自動機理論的研究中。理解這個概念需要牢牢掌握常規語言的定義和屬性以及識別它們的計算模型。

常規語言和有限自動機

常規語言是一類可以被有限自動機辨識的語言，有限自動機是具有有限狀態數的抽象機器。這些語言也可以使用正規表示式來描述，並且可以透過正規語法產生。正規語言的關鍵特徵是它們可以被確定性有限自動機（DFA）或非確定性有限自動機（NFA）識別。 DFA 由一組有限狀態、一組輸入符號、一個將狀態符號對映射到狀態的轉換函數、一個初始狀態和一組接受狀態組成。

有限自動機的能力受到其有限記憶體的限制。它們的計數不能超過固定數量，這意味著它們無法追蹤特定符號出現的任意次數，除非該數量受到自動機中狀態數量的限制。當考慮像這樣的語言時，這個限制很重要 $U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ .

不規則性 $U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}$

要確定語言是否為常規語言，可以使用常規語言的泵浦引理。泵引理提供了所有正則語言都必須滿足的屬性，並且通常用於證明某些語言不滿足此屬性來表明某些語言是不規則的。

泵引理指出對於任何常規語言 $L$ ，存在泵送長度 $p \geq 1$ 這樣任何字串 $s$ in $L$ 與長度 $|s| \geq p$ 可分為三個部分， $s=xyz$ ，滿足以下條件：
1. $|xy| \leq p$ ,
2. $|y| \geq 1$ 和
3.對於所有人 $我\geq 0$ , 字串 $xy^iz$ 在... $L$ .

使用泵引理來證明 $U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ 不是正規的，為了矛盾，假設 $U$ 是有規律的。那麼，存在一個泵浦長度 $p$ 這樣任何字串 $s$ in $U$ - $|s| \geq p$ 可以分為幾個部分 $x，y，z$ 滿足泵浦引理的條件。

考慮字串 $s = 0^p1^p$ in $U$ 。根據泵引理， $s$ 可以分為 $x，y，z$ 這樣的 $|xy| \leq p$ $|y| \geq 1$ 。以來 $|xy| \leq p$ , 子串 $y$ 僅由 0 組成。因此， $x = 0^a$ , $y = 0^b$ 和 $z = 0^{pab}1^p$ 哪裡 $1 \leq b \leq p$ .

現在，考慮字串 $xy^2z = 0^a0^{2b}0^{pab}1^p = 0^{p+b}1^p$ 。 0的個數是 $p+b$ ，大於 $p$ ，而 1 的數量仍然存在 $p$ 。因此， $xy^2z \notin U$ 因為0和1的數量不相等。這一矛盾表明，假設 $U$ 是正規是假。因此， $U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ 不是常規語言。

上下文無關語言與下推自動機

語言 $U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ 然而，它是一種上下文無關語言（CFL）。上下文無關語言由下推自動機 (PDA) 識別，它比有限自動機更強大，因為它們可以利用堆疊來儲存無限量的資訊。這個額外的記憶體允許 PDA 追蹤語言中 0 和 1 的數量 $U$ .

掌上電腦 $U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ 操作如下：
1. 它從初始狀態開始，從輸入中讀取 0，將每個 0 壓入堆疊。
2. 讀取第一個 1 後，它會轉換到新狀態，並開始從輸入中讀取每個 0 時從堆疊中彈出 1。
3. 如果輸入耗盡時堆疊為空，則 PDA 接受輸入，表示 0 的數量與 1 的數量相符。

這種使用堆疊來匹配 0 和 1 數量的機制展示了 PDA 識別不規則但與上下文無關的語言的能力。

例子和進一步的含義

考慮範例字串 $s = 000111$ 從語言 $U$ 。 PDA 會在讀取字串時將每個 0 壓入堆疊來處理該字串。讀取三個0 後，堆疊將包含三個符號，每個符號代表一個0。堆疊為空，表示輸入被接受。

相較之下，有限自動機將無法追蹤 0 和 1 的數量，因為它缺乏堆疊機制。由於無法儲存和擷取無限數量的符號，有限自動機無法確保 0 的數量等於 1 的數量，從而導致其無法識別該語言 $U$ .

常規語言和上下文無關語言之間的區別在理論計算機科學中很重要，並且在程式語言設計和解析等領域具有實際意義。上下文無關語法產生上下文無關語言，廣泛用於程式語言語法的定義。使用 PDA 有效識別上下文無關語言的能力來支撐著解析器的開發，解析器是編譯器和解釋器的基礎。

的不規則性 $U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}$ 強調了有限自動機的局限性，並強調了更強大的計算模型（如下推自動機）的必要性，以識別更廣泛的語言類別。這種區別不僅僅是理論上的，而且對程式語言及其處理工具的實際設計和實現具有深遠的影響。

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