我們如何將圖靈機的接受問題的給定實例編碼為 PCP 實例？
在計算複雜性理論領域，圖靈機的接受問題是指確定給定的圖靈機是否接受特定的輸入。 另一方面，後對應問題（PCP）是一個眾所周知的不可判定問題，涉及尋找特定字符串連接難題的解決方案。 在這種情況下，問題是我們如何將圖靈機的接受問題實例編碼到 PCP 實例中。
為了理解編碼過程，讓我們先考慮圖靈機接受問題的本質。圖靈機是一種計算理論模型，由分成單元的磁帶、讀/寫頭和一組狀態組成。它的操作方式是讀取磁帶上目前位置的符號，根據目前狀態和符號轉換到新狀態，並透過在目前位置寫入新符號來修改磁帶。如果機器達到指定的停止狀態，則機器停止。
圖靈機的接受問題涉及確定給定圖靈機是否停止並接受特定的輸入字符串。 這個問題可以通過構造一組字符串對來編碼到 PCP 的實例中，其中每對對應於圖靈機的一個配置。
為了對接受問題進行編碼，我們首先需要定義圖靈機使用的字母表。 設 Σ 為字母表，由可以出現在磁帶上的符號組成。 我們可以假設字母表中包含一個空白符號，表示為#，它代表磁帶上的空單元。
接下來，我們需要定義圖靈機的狀態集。 令 Q 為狀態集，其中 q0 為初始狀態，qf 為停止狀態。 另外，令 qreject 為表示拒絕的特殊非停止狀態。
現在，我們可以為 PCP 構建字符串對集合。 每個字符串對對應於圖靈機的一個配置，其中包括當前狀態、磁帶內容和讀/寫頭的位置。 字符串對的構造遵循以下準則：
1. 從空對開始：(ε, ε)，其中 ε 表示空字符串。
2. 對於 Q 中的每個狀態 q，創建一對：(q, ε)。
3. 對於 Σ 中的每個符號 a，創建一對：(a, ε)。
4. 對於磁帶上的每個位置 i，創建一對：(i, ε)。
5. 對於 Σ 中的每個符號 a，創建一對：(a, a)。
6. 對於 Σ 中的每個符號 a，創建一對：(a, #)。
7. 對於 Σ 中的每個符號 a，創建一對：(#, a)。
8. 對於 Q 中的每個狀態 q，創建一對：(q, #)。
9. 對於 Q 中的每個狀態 q，創建一對：(#, q)。
10. 對於 Q 中的每個狀態 q，創建一對：(q, q)。
11. 對於 Q × Σ 中的每一對 (q, a)，創建一個對：(q, a)。
12. 對於 Σ × Q 中的每對 (a, q)，創建一對：(a, q)。
13. 對於 Q × {1, 2, …, n} 中的每一對 (q, i)，創建一個對：(q, i)。
14. 對於 {1, 2, …, n} × Q 中的每一對 (i, q)，創建一個對：(i, q)。
15. 對於 Q × Q 中的每一對 (q, q')，創建一個對：(q, q')。
16. 對於 Σ × Σ 中的每對 (a, a')，創建一對：(a, a')。
17. 對於 Q × Σ × Q 中的每個三元組 (q, a, q')，創建一對：(q, aq')。
18. 對於 Σ × Q × Σ 中的每個三元組 (a, q, a')，創建一對：(aq, a')。
19. 對於 Q × {1, 2, …, n} × Q 中的每個三元組 (q, i, q')，創建一對：(q, iq')。
20. 對於{1, 2, …, n} × Q × {1, 2, …, n} 中的每個三元組(i, q, i')，創建一對：(iq, i') 。
21. 對於 Q × Q × Q 中的每個三元組 (q, q', q'')，創建一對：(q, q'q'')。
22. 對於 Σ × Σ × Σ 中的每個三元組 (a, a', a'')，創建一對：(a, a'a'')。
23. 對於 Q × Σ × Q × Σ 中的每個四元組 (q, a, q', a')，創建一對：(q, aa'q')。
24. 對於 Σ × Q × Σ × Q 中的每個四元組 (a, q, a', q')，創建一對：(aq, a'aq')。
25. 對於Q × {1, 2, …, n} × Q × {1, 2, …, n} 中的每個四元組(q, i, q', i')，創建一對：( q, ii' q'）。
26. 對於{1, 2, …, n} × Q × {1, 2, …, n} × Q 中的每個四元組(i, q, i', q')，創建一對： ( ii'q,我'q'）。
27. 對於每個四元組 (q, q', q'', q) in Q × Q × Q × Q, create a pair: (q, q'q''q).
28. 對於每個四元組 (a, a', a'', a) in Σ × Σ × Σ × Σ, create a pair: (a, a'a''a).
這些準則確保圖靈機的每種可能的配置都由 PCP 實例中的一對錶示。 通過以這種方式構建 PCP 實例，我們可以對圖靈機的接受問題進行編碼。
總而言之，將圖靈機的接受問題的給定實例編碼為 PCP 的實例涉及構造一組表示圖靈機配置的字符串對。 每對對應於特定的狀態、磁帶符號或磁帶上的位置，並遵循一組準則以確保編碼的全面性。
最近的其他問題和解答 可判定性:
- 能否將磁帶限制在輸入的大小上（相當於圖靈機的磁頭被限制移動到TM磁帶的輸入之外）？
- 不同版本的圖靈機在運算能力上是等效的意味著什麼？
- 圖靈可辨識語言能否形成可判定語言的子集？
- 圖靈機的停機問題是可判定的嗎？
- 如果我們有兩個描述可判定語言的TM，那麼等價問題仍然是不可判定的嗎？
- 線性有界自動機的接受問題與圖靈機的接受問題有何不同？
- 給出一個可以由線性有界自動機決定的問題的例子。
- 在線性有界自動機的背景下解釋可判定性的概念。
- 線性有界自動機中帶子的大小如何影響不同配置的數量？
- 線性有界自動機和圖靈機之間的主要區別是什麼？